Почему каре тузов проигрывает роял-флешу

Роял-флеш бьёт каре тузов в стандартном покере. Даже четыре туза уступают любому стрит-флешу — пяти последовательным картам одной масти.

Каре — это четыре карты одного ранга. Роял-флеш — старший стрит-флеш, состоящий из десятки, валета, дамы, короля и туза одной масти. Поэтому при вскрытии сравнивают не только ранг карт, но прежде всего тип комбинации: каре тузов не становится сильнее стрит-флеша из-за четырёх тузов — см. официальный порядок старшинства комбинаций PokerStars.

Как Мабути проиграл с четырьмя тузами

В раздаче 2008 года Мабути получил каре тузов на ривере, но та же общая карта дала Филлипсу бубновый роял-флеш — см. репортаж ESPN о раздаче и официальный обзор WSOP на английском.

Карманные карты Мабути были A♠ A♣, а Филлипса — K♦ J♦. Общие карты выходили так:

На вскрытии Мабути мог составить каре A♠ A♣ A♥ A♦, а Филлипс — T♦ J♦ Q♦ K♦ A♦. Именно роял-флеш выиграл сравнение.

Важная деталь: Филлипс не ждал ривера, чтобы впервые выйти вперёд. На тёрне его стрит уже был сильнее трёх тузов Мабути.

Какова вероятность каре тузов против роял-флеша

В фиксированной модели случайной раздачи техасского холдема для двух игроков вероятность составляет 0.000000607468%, то есть примерно 1 случай на 165 миллионов.

Модель учитывает две карманные карты первого игрока, две второго и пять общих карт. Порядок карт внутри каждой группы не учитывается:

• общее число раздач: C(52,2) × C(50,2) × C(48,5) = 2,781,381,002,400;
• число подходящих раздач: 16,896 = 2 × (3,168 + 3,168 + 2,112);
• вероятность: 6.0746801626e-9 = 0.000000607468%;
• частота: 1 в 164,617,720.3, округлённо — 1 в 165 миллионах.

Здесь C(n,k) обозначает число способов выбрать k карт из n без учёта порядка. Множитель 2 учитывает обе роли: каре тузов может оказаться у любого из двух игроков.

Категорийные количества приведены в разборе Wizard of Odds «Ask the Wizard» № 215, где отдельно указана необходимость поменять игроков ролями. В опубликованной там формуле есть арифметическое несоответствие: указано 8,448 подходящих раздач, хотя итоговая частота соответствует учёту обеих ролей. Поэтому выше использовано согласованное число 16,896.

Эта вероятность относится к конкретной модели, а не к столу из девяти игроков и не к точному повторению карт Мабути и Филлипса. Упоминаемое ESPN число 2.7 миллиарда также нельзя выдавать за результат этого расчёта.

Какие карты могли спасти Мабути на тёрне

Мабути выигрывал на 8 из 44 возможных карт ривера: трёх дамах, трёх десятках и двух девятках. Его эквити на вскрытии составляла 18.2%, у Филлипса — 81.8%.

Расчёт фиксирует обе пары карманных карт и четыре общие карты: A♥ Q♦ 9♠ T♦. Из колоды уже известны восемь карт, поэтому остаются 44 возможных однокарточных добега.

A♦ не является выигрышным аутом Мабути: эта карта улучшает его руку до каре, но даёт сопернику роял-флеш. 9♦ также не спасает Мабути: Филлипс получает стрит-флеш 9♦ T♦ J♦ Q♦ K♦, который сильнее фулл-хауса.

Дележей в этом расчёте нет, поэтому эквити каждого игрока численно совпадает с его процентом побед на вскрытии. Это совпадение для данной ситуации, а не равнозначность понятий. Эквити учитывает долю банка при дележе, а процент побед на вскрытии — только победы без дележа. Значения 18.2% и 81.8% округлены до одного знака после запятой.

Как проверить раздачу в калькуляторе

Ты можешь воспроизвести расчёт, задав две фиксированные руки и оставив ривер пустым.

1. Открой калькулятор эквити.
2. Задай первому игроку карманные карты A♠ A♣, второму — K♦ J♦.
3. Укажи общие карты A♥ Q♦ 9♠ T♦, оставив место для ривера пустым.
4. Запусти расчёт. Если меняешь карты, запусти его повторно.
5. Сравни результат: точный перебор включает 44 добега, из которых Мабути выигрывает 8, а Филлипс — 36.

Расчёт эквити Мабути с A♠ A♣ против Филлипса с K♦ J♦ на общих картах A♥ Q♦ 9♠ T♦

Скриншот локальной версии на localhost: название элемента интерфейса «Hero» обозначает Мабути, а «Villain» — Филлипса. Ривер оставлен пустым для расчёта 44 возможных добегов.

Калькулятор поддерживает фиксированные карты и диапазоны рук. Здесь нужны именно фиксированные карты, чтобы проверить эту конкретную ситуацию. Работа инструмента подтверждена в локальной версии; проверка страницы сайта была заблокирована ответом 403.

Результат показывает эквити на вскрытии, а не ожидаемую прибыль решения. Калькулятор не моделирует вероятность паса соперника, соотношение ставки и банка или условия получения джекпота. Поэтому эти проценты сами по себе не доказывают обоснованность олл-ина — ставки всеми оставшимися фишками.

Насколько редки эти комбинации в случайной пятикарточной руке

Приведённые ниже вероятности относятся к одной случайной пятикарточной руке из стандартной колоды, а не к семи доступным картам игрока в техасском холдеме.

В диаграмме сравниваются пять категорий. Роял-флеш показан отдельно, а строка «стрит-флеш» относится к остальным стрит-флешам.

Для сравнения, вероятность стрита в той же модели случайной пятикарточной руки составляет 0.392%. Эти округлённые значения описывают частоту отдельных комбинаций, но не вероятность их столкновения у двух игроков. Для встречи каре тузов с роял-флешем нужен отдельный расчёт раздачи, приведённый выше.