Покер лжецов: как играть на серийных номерах купюр

В покере лжецов у каждого игрока одна долларовая купюра, а заявка говорит, сколько раз определённая цифра встречается во всех серийных номерах вместе. Следующая заявка должна быть выше по количеству либо при том же количестве — по старшинству цифры. Раунд заканчивается, когда последнюю заявку оспорили все остальные. Наш расчёт: если в игре втроём у тебя три нуля, заявка «5 нулей» верна в 48,5% случаев. При этих допущениях повышать текущую заявку стоит, только если новая заявка верна с вероятностью не ниже 50,7%, то есть примерно 51%. Информация из ходов меняет оценку: заявка игрока 1 тянет её вверх, оспаривание игрока 2 — вниз; в разобранных ниже трактовках вероятность того, что заявка «5 нулей» верна, составляет от 18,7% до 100%.

Здесь разобрана только игра на восьмизначных серийных номерах долларов США — не карточный вариант, не кости лжеца и не книга Майкла Льюиса. Для другого количества цифр таблицы нужно пересчитать.

Далее разберём чужую раздачу из примера Wizard of Odds и сравним оспаривание с повышением. Порог 25% у Wizard of Odds для игры втроём подходит только тогда, когда текущая заявка точно верна, а не для любого решения.

1. Правила игры: одна купюра, скрытый номер и общая заявка

Каждому нужна одна купюра любого номинала, а до начала игры нужно согласовать денежную ставку и домашние договорённости. Номинал купюры и сумма, которую платят по итогам раунда, не обязаны совпадать.

Ниже — вариант по правилам Wizard of Odds, страница обновлена 3 августа 2026, и статье Wikipedia «Liar's poker», версия от 30 марта 2024. Различия в порядке цифр разобраны отдельно.

Заявка — утверждение о цифрах, а ставка — деньги, которыми рассчитываются после проверки. Это разные понятия.

2. Как растёт заявка и когда заканчивается оспаривание

Повысить заявку можно двумя способами: увеличить количество с любой цифрой или сохранить количество и назвать более старшую цифру. Вместо повышения можно оспорить заявку.

Заявка «q цифр d» означает: на всех купюрах, включая твою, есть не меньше q таких цифр. Например, после «трёх шестёрок» допустимы «три семёрки» или «четыре пятёрки» при любом из двух порядков ниже.

В описании Wikipedia единица старшая как «туз», за ней ноль как «десятка», а двойка младшая. Автор Wizard of Odds предпочитает ноль младшим, девятку старшей. Ни один порядок здесь не считается единственно правильным: он не меняет вероятность заявки, но меняет доступные повышения при равном количестве.

Дальше действуют так:

1. Игрок повышает текущую заявку либо оспаривает её.
2. Если заявку оспорили не все остальные, раунд продолжается: следующий игрок может повысить её.
3. Когда последнюю заявку оспорили все остальные, проводят вскрытие серийных номеров и считают нужную цифру.
4. Если цифр не меньше заявленного количества, автор заявки получает ставку от каждого другого игрока. Если меньше — платит каждому.

При взаимном доверии можно просто назвать количество нужных цифр на своей купюре. Но игрок, чью заявку оспорили, вправе потребовать показать купюры.

3. Сколько одинаковых цифр ждать

Для заданной цифры среднее количество на всём столе равно 0,8 × число игроков, если считать цифры независимыми и равновероятными. Это модель, а не проверка настоящей печати купюр.

Для каждой позиции вероятность нужной цифры принимается равной 0,1. Её количество описывает биномиальное распределение: число «успехов» в n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p. Такое определение дано в справочнике NIST e-Handbook, раздел 1.3.6.6.18, просмотренном 17 октября 2026 года.

В этой модели прошлые купюры не меняют следующую. Почему серия наблюдений не создаёт «долг» перед определённым результатом, показывает симулятор заблуждения игрока.

Повторы на одной купюре

Чаще всего максимальный повтор на одной купюре — пара. В таблице «тройка» означает, что максимальное количество одинаковых цифр равно трём, а не что речь идёт о заранее выбранной цифре.

Это таблица Wizard of Odds, воспроизведённая точным подсчётом. Проценты округлены, поэтому их сумма может отличаться от 100%.

Заданная цифра на всём столе

До просмотра своей купюры вероятность зависит от общего числа цифр — 8n, где n — число игроков. Таблица показывает вероятность, что заранее выбранная цифра встречается не меньше q раз.

Самое большое количество в заявке с вероятностью не ниже 50% вслепую: 1 при двух игроках, 2 при трёх, 3 при четырёх, 4 при пяти и 5 при шести.

Источник исходной таблицы повторов и частного порога повышения, который разберём ниже, — страница с правилами и таблицами вероятностей. Расчёты для всего стола и известной тебе купюры используют описанную модель независимых цифр.

4. Как твой серийный номер меняет шансы

Из заявленного количества нужно вычесть цифры, которые ты уже видишь на своей купюре. Если у тебя h нужных цифр, заявка «q цифр d» верна, когда у остальных есть не меньше q − h таких цифр.

В игре втроём у двух соперников остаются 16 неизвестных цифр. Без сведений об их ходах получаются такие вероятности:

Каждая следующая строка сдвигает числа предыдущей на один столбец вправо: ещё одна известная цифра уменьшает необходимое количество у соперников.

Число игроков тоже существенно. Для четырёх игроков неизвестны уже 24 цифры:

Это похоже на блокеры и вычитание карт при блеф-кэтче: известная информация уменьшает неизвестную часть задачи. Но здесь аналогия ограничена учётом известных цифр. В модели независимых цифр три нуля у тебя не делают ноль на чужой купюре менее вероятным.

5. Оспорить или повысить: какой порог сравнивать

Порог повышения зависит от вероятности текущей заявки: 25% для игры втроём подходит только при уверенности, что она верна. Если текущая заявка сомнительна, оспаривание становится привлекательнее и порог растёт.

Формулы ниже предполагают одновременно два условия:

• твоё оспаривание завершает раунд — все остальные уже оспорили текущую заявку;
• если ты повысишь заявку, все остальные оспорят твою.

Пусть ставка одному сопернику равна 1, игроков n, вероятность верности текущей заявки — s, а твоей повышенной заявки — p. Тогда ожидаемая ценность (EV) решения в единицах ставки:

• Оспорить заявку: EV = 1 − 2s.
• Повысить заявку и получить оспаривание от всех: EV = (n − 1)(2p − 1).

Приравнивая эти оценки, получаем порог:

p* = 1/2 + (1 − 2s) / (2(n − 1)).

Это граница равной ожидаемой ценности двух действий, а не обещание положительного результата. Само оспаривание достигает точки безубыточности при s = 0,5. Логика сопоставления вероятности и денежных последствий знакома по теме требуемое эквити по шансам банка, но формула для этой игры своя.

Когда текущая заявка точно верна

При s = 1 оспаривание заведомо проигрывает ставку, а порог упрощается до (n − 2) / (2n − 2). Именно это допущение использует Wizard of Odds.

При этих допущениях повышение не хуже оспаривания, если p не ниже порога. Это сравнение двух решений: оба могут иметь отрицательную ожидаемую ценность.

Когда текущая заявка может быть ложной

Чем ниже s, тем более убедительной должна быть твоя новая заявка.

При s = 0,5 повышать стоит только при p ≥ 50%. Проценты в таблицах округлены; сравнивай их с вероятностью именно своей доступной заявки.

6. Разбор раздачи: пять нулей есть, шестого нет

С места игрока 3, без учёта чужих ходов, оспорить «5 нулей» лучше, чем повысить до «6 нулей»: вероятности составляют 48,5% и 21,1%, а порог повышения — 50,7%. Реальный итог раздачи не заменяет оценку решения по доступной игроку информации.

В примере Wizard of Odds участвуют три игрока:

Используется порядок Wizard of Odds: ноль младший, девятка старшая. При порядке из Wikipedia ход 2 — «2 пятёрки» после «2 нулей» — и ход 4 — «3 восьмёрки» после «3 нулей» — были бы недопустимы.

Последовательность ходов:

1. Игрок 1: «2 нуля».
2. Игрок 2: «2 пятёрки».
3. Игрок 3: «3 нуля».
4. Игрок 1: «3 восьмёрки».
5. Игрок 2: «3 девятки».
6. Игрок 3: «4 нуля».
7. Игрок 1: «5 нулей».
8. Игрок 2 оспаривает заявку.
9. Игрок 3 повышает до «6 нулей».
10. Игроки 1 и 2 оспаривают заявку.

Три восьмизначных серийных номера с выделенными нулями: 2 + 0 + 3 дают 5 нулей, поэтому заявка «5 нулей» верна, а заявка «6 нулей» ложна.Учебная схема раздачи втроём из примера Wizard of Odds. Наблюдение: выделенные нули в сумме дают 5. Расчёт с места игрока 3, у которого 3 нуля, без учёта информации из ходов: «5 нулей» верна в 48,5% случаев, «6 нулей» — в 21,1%.

После вскрытия серийных номеров находят пять нулей: 2 + 0 + 3. Это меньше шести, поэтому игрок 3 платит каждому сопернику по $1.

Что можно было решить по своей купюре

По одной купюре игрока 3 заявка «5 нулей» верна в 48,5% случаев: нужны хотя бы два нуля среди 16 неизвестных цифр. Wizard of Odds приводит то же значение — 0,485272 до округления.

Вероятность «6 нулей» — 21,1%. Любое доступное повышение при выбранном порядке цифр, например «5 двоек», верно не чаще чем в 21,1% случаев. Для текущего s = 48,5% порог повышения равен 50,7%, то есть доступные повышения далеко ниже него.

Ожидаемая ценность в единицах ставки:

• оспорить «5 нулей»: +0,03;
• повысить до «6 нулей»: −1,16.

Это округлённые оценки с места игрока 3. В самой раздаче «5 нулей» действительно была верна, поэтому её оспаривание принесло бы проигрыш. Расчёт оценивает решение до раскрытия номеров, а не объявляет каждый отдельный итог удачным.

Как трактовка ходов меняет решение

Заявка игрока 1 может говорить в пользу большего числа нулей, а оспаривание игрока 2 — в пользу меньшего. Следующая таблица показывает условные расчёты при разных интерпретациях, а не установленные по ходам факты.

Здесь EV повышения относится к «6 нулям», денежная единица — одна ставка. Порог повышения считается по формуле раздела 5 при своём s: например, 65,7% при s = 18,7% и 25% только при s = 1, когда принятые условия делают текущую заявку точно верной.

При этих допущениях оспаривание выгоднее повышения в пяти строках из шести: в строке без учёта информации из ходов и во всех строках, учитывающих оспаривание игрока 2. Повышение имеет положительное математическое ожидание только в последней строке, где заявке игрока 1 доверяют — считают, что у него не меньше двух нулей, — а оспаривание игрока 2 игнорируют.

Интерпретация «у игрока 2 нет нулей» — крайнее прочтение его действия, а не знание. В раскрытой раздаче оно оказалось верным. Автор Wizard of Odds поясняет: «Если бы у игрока 2 был ноль, игрок 3 выиграл бы» — перевод наш.

Насколько результат чувствителен к допущениям

Базовые 48,5% заметно меняются при другом количестве цифр, другой вероятности нуля или другом числе нулей у тебя. В каждой строке меняется только указанное условие базового расчёта без сведений о ходах.

Строки с 7 и 10 цифрами показывают чувствительность модели, а не описывают конкретные валюты.

7. Чего эти числа не учитывают

Таблицы не учитывают автоматически информацию из заявок, поведение соперников и отклонения реальных номеров от модели независимых равномерных цифр. Заявка может опираться на собственную купюру, а может быть блефом, поэтому превращать её в точное знание нельзя.

Границы расчёта такие:

• Цифры независимы и равновероятны только по допущению. Биномиальное распределение не подтверждает свойства настоящей печати.
• Чужие действия требуют отдельной оценки. Таблица трактовок показывает последствия выбранных предположений, но не доказывает их.
• Домашние договорённости меняют ход игры. Порядок цифр определяет доступные повышения; очерёдность и ставка согласуются заранее.
• Количество цифр зависит от формата купюры. Основные таблицы рассчитаны только для восьмизначных номеров.
• Формула — для конца раунда. Пороговая формула применима только к решениям, после которых раунд заканчивается; дальнейшие торги после твоего хода она не моделирует.

Это игра с нулевой суммой: что выигрывает один, проигрывают остальные; преимущества казино в описанных расчётах нет. Законность игры на деньги в разных местах здесь не оценивается.

8. С какими играми не нужно путать покер лжецов

Эта статья относится только к заявкам о цифрах на купюрах. Похожие названия не означают одинаковые правила.