Standart Sapma

Standart Sapma (Standard Deviation, σ)

Diyelim ki 1000 elde +100 BB kazandın. Win rate'inin +10 BB/100 olduğunu düşünüyorsun. Aslında gerçek win rate'in -3 BB/100 ile +23 BB/100 arasında herhangi bir yerde olabilir. Bu, 26 BB genişliğinde bir %95 güven aralığı. Bu belirsizlik nereden geliyor? Standart sapmadan. Sigmayı kavramadan olumlu serilerde becerini sistematik olarak fazla, olumsuzlarda ise az değerlendirirsin. Sigma, sonuçlarının gerçek ortalamadan ne kadar sapabileceğinin matematiğidir.

Ne işe yarar

Standart sapma (sigma, σ), değerlerin ortalama etrafındaki dağılımının ölçüsüdür. Tüm sonuçlar ortalamaya yakınsa sigma küçüktür; dağılım genişse sigma büyüktür.

Basit bir örnek: 10 kişinin boyunu ölçüyorsun, ortalama 175 cm. Herkes 173-177 cm arasındaysa sigma küçüktür (yaklaşık 1,5 cm). Boy 160 ile 195 arasında dağılıyorsa sigma büyüktür (yaklaşık 10 cm). Poker de aynı şekilde çalışır: win rate'in +5 BB/100 olabilir, ama tek tek oturumlar 100 elde -50 ile +60 BB arasında gidip gelebilir. Sigma bu dağılımı tanımlar.

Kumar oyunlarında sigma şunları belirler:

• Düşüş dönemleri ve yükseliş dönemlerinin ne kadar derin olacağını
• Ayakta kalmak için ne kadar bankroll gerektiğini
• Beceriyi güvenilir biçimde ölçmek için kaç el oynamak gerektiğini
• Belirli bir bahis büyüklüğünde Risk of Ruin'in ne olduğunu

Sigmayı anlamak şu temel sorunu çözer: kısa vadeli sonuçlara verilen duygusal tepki. Bir oturumda -200 BB felaket midir? Hayır, 300 elde sigma 100 BB/100 olan biri için bu normaldir. Bir haftada +500 BB iyi bir oyuncu olduğunu mu kanıtlar? Hayır, bu ortalama bir regülar için bile istatistiksel olarak mümkündür.

Formül: sigma nasıl hesaplanır

Temel matematik. N tane sonucun x₁, x₂, ..., xₙ ve ortalamaları μ ise:

varyans: V = Σ(xᵢ - μ)² / (N - 1)

sigma: σ = √V

Poker için somut adımlar: oturumları 100'er el bloklara böl (ya da her el verisini kullan). Her bloğun BB cinsinden sonucunu al. Ortalamasını hesapla; bu win rate'in. Ortalamadan sapmaları hesapla, karelerini al, ortala. Bunun karekökü sigmanı verir.

PokerTracker 4 ve Holdem Manager 3 sigmayı otomatik hesaplar. "Tüm eller" bölümüne gir, "Raporlar" ve "Oturumlar" sekmelerine bak; BB/100 win rate ± sigma değerini görürsün. Bu temel istatistik olmadan sonuç analizi körü körüne yapılır.

Spor bahislerinde sigma bahis başına hesaplanır. $100 bahis yapıyor ve +%3 edge'in varsa, bahis başına tipik sigma $98-100 civarındadır. Bu, beklenen +$150 kazancına karşın 50 bahislik bir serinin -$1000 ile +$1300 arasında sonuçlanabileceği anlamına gelir.

Kendi parametrelerine göre olası sonuçları modellemek için varyans simülatörünü kullan. Sigmanın senin sayılarında ne anlama geldiğini sezgisel olarak kavramanın en iyi yolu budur.

Nakit pokerde sigma

NLHE online için 2024-2026 döneminde tipik sigma değerleri:

NL10-NL50 (mikro ve düşük limitler):

• 6-max: sigma 90-110 BB/100
• 9-max: sigma 70-90 BB/100
• Zoom (hızlı nakit): sigma 100-130 BB/100

NL100-NL500 (orta limitler):

• 6-max: sigma 100-130 BB/100
• 9-max: sigma 80-100 BB/100

NL1K+ (yüksek stakeler):

• 6-max: sigma 110-140 BB/100
• 9-max: sigma 90-120 BB/100

Sigma neden stake yükseldikçe artıyor? Yüksek limitlerde oyuncular daha geniş oynuyor, 50/50 durumlara daha sık giriyor, 3-bet/4-bet savaşları daha fazla. Aynı win rate'te bile varyans artıyor.

Neden 6-max, 9-max'tan daha yüksek? Masada daha az oyuncu demek, blindlar arasında daha fazla el, top çift karşı top çift çarpışmaları daha sık, flop öncesi all-in'ler daha yaygın. 9-max daha sıkı oynanır, varyans daha düşük.

Zoom (PokerStars) ve hızlı poker, normal nakit oyununa kıyasla sigmayı %15-25 artırıyor. Nedeni basit: hızlı tempoda rakibi okuma imkânı yok, ortalama ranjlara karşı oynamak zorunda kalıyorsun; bu da varyansı güçlendiriyor.

MTT'de sigma

Turnuvalarda sigma, buy-in'in yüzdesi olarak hesaplanır. Tipik değerler:

• Mikro MTT ($1-5 buy-in): sigma buy-in'in %200-250'si
• Low MTT ($10-30): sigma %250-300
• Mid MTT ($50-200): sigma %300-400
• High MTT ($500-2000): sigma %400-500

Bu, nakit pokerden dramatik biçimde yüksek. Nedeni açık: turnuvaların %85-95'i sıfırla sonuçlanıyor (ödül sıralamasına girmeden eleniyor), yalnızca %5-15'i pozitif getiri sağlıyor ve kazançların büyük bölümü ilk 3 derecede yoğunlaşıyor. Dağılım normale uzak; büyük kazançların uzun kuyruğuyla sağa doğru güçlü bir çarpıklık gösteriyor.

Pratik sonuç: MTT için bankroll en az 100 buy-in olmalı (mikro için), yüksek limitlerde 200+. Ampirik kural: 4 × sigma² / win rate = %5 Risk of Ruin için minimum bankroll.

MTT'de ROI +%20 ve sigma %300 için somut hesap: bankroll = 4 × 9 / 0,2 = 180 buy-in. Poker literatüründeki "MTT için 200 buy-in" standardı tam buradan geliyor.

Varyans simülatörü üzerinden yapılan simülasyon şunu gösteriyor: ROI +%20 ile 1000 turnuva sonrasında gerçek ROI'n %95 güven düzeyinde -%10 ile +%50 arasında. Yani 1000 turnuva sonrasında bile edge'ini kesin olarak bilemiyorsun. 3000 turnuva sonrasında bu aralık +%5 ile +%35'e daralıyor.

Spor bahislerinde sigma

Spor bahislerinde sigma, bahis miktarına ve orana bağlıdır:

sigma_bahis = bahis × √(olasılık × (1 - olasılık))

-110 oranındaki tipik bir bahis için (olasılık %52,4): sigma = bahis × 0,499 ≈ bahisin yarısı.

Somut örnek: -110 oranında $100'lık bahis, bahis başına $50 sigma verir. Varyans karesel olduğundan V = 2500.

Bahis portföyünün sigması:

Bahisler bağımsızsa: sigma_portföy = √(tek tek bahislerin varyanslarının toplamı).

Somut örnek: her birinin sigması $50 olan 10 adet $100'lık bahis → sigma_portföy = √(10 × 2500) = $158. $500 değil (yani 10 × $50); ortalama alma sayesinde çok daha az.

Bu, çeşitlendirmenin temel mantığıdır. Bağımsız bahis sayısı arttıkça portföy varyansı toplam hacme oranla azalır. Profesyonellerin 20 büyük bahis yerine yılda 200-500 bahis oynamasının nedeni tam da budur.

Korelasyonlar bu matematiği bozar. 10 bahis birbiriyle ilişkiliyse (örneğin farklı maçlarda aynı takıma), portföyün gerçek sigması bireysel değerlerin köküne değil toplamına yakın olabilir. Profesyoneller korelasyonlardan özenle kaçınır.

Kart sayımıyla blackjack'te sigma

Kart sayımında sigma, saatlik oyun başına bahis birimi cinsinden ölçülür.

Hi-Lo sistemi için tipik değerler:

• Tek masada 1 saatlik oyun: 2-2,5 birim sigma
• 4 saatlik oturum: 4-5 birim sigma (ölçekleme √4 = 2x şeklinde)
• 100 saatlik oyun: 20-25 birim sigma

+%1,5 edge ve 2,5 birim/saat sigma ile oyuncu saatte ortalama 1,5 birim kazanır, ancak varyans büyüktür. Arka arkaya 50 zararlı saatlik bir seri mümkündür; 80'i aşan bir seri ise nadirdir.

Kart sayıcıların birden fazla kumarhaneye dağılmış takımlar halinde çalışmasının nedeni de budur. Birden fazla masada oynayarak portföy sigmasını düşürmek, blackjack'te de pokerde olduğu gibi işe yarar.

Sigma ile güven aralıkları

Sigma'nın asıl pratik değeri güven aralıklarının (GA) hesaplanmasıdır.

Normal dağılım için:

• Sonuçların %68'i ortalamadan ±1σ aralığında
• %95'i ±2σ aralığında (daha kesin ifadeyle 1,96σ)
• %99,7'si ±3σ aralığında

N büyüklüğündeki örneklemde win rate tahmini için:

GA_95% = win rate ± 1,96 × sigma / √N

Somut örnek: sigma 100 ile 10.000 el sonrasında +5 BB/100 win rate. GA = ±1,96 × 100 / √10000 = ±1,96 BB/100. Gerçek win rate %95 güvenle +3,04 ile +6,96 BB/100 arasındadır.

100.000 el sonrasında: GA = ±0,62 BB/100, aralık +4,38 ile +5,62. Artık çok daha kesin.

1.000.000 el sonrasında: GA = ±0,2 BB/100. Gerçek değere yakınsama budur.

Pratikte bunun anlamı şu: 50.000-100.000 ele kadar gerçek win rate'ini bilmiyorsun. Her sonuç gürültü artı olası gerçek edge'in toplamıdır; güven aralıklarını kavramadan kendini sürekli ya fazla ya da az değerlendirirsin.

İflas riskiyle bağlantısı

Sigma, Risk of Ruin formülüne doğrudan girer:

RoR = ((1 - win rate/σ) / (1 + win rate/σ))^(bankroll/σ)

Aynı win rate'te sigma ne kadar yüksekse, RoR o kadar yüksektir. Win rate sabit kalırken sigma iki katına çıkarsa, aynı Risk of Ruin düzeyini korumak için bankrolunu dört katına çıkarman gerekir (sigma formüle karesiyle girer).

Somut bir örnek. Win rate'i +3 BB/100 olan bir cash poker oyuncusu:

• Sigma 80 BB/100: %5 RoR için 30 buy-in bankroll gerekir
• Sigma 100 BB/100: %5 RoR için 47 buy-in bankroll gerekir
• Sigma 120 BB/100: %5 RoR için 67 buy-in bankroll gerekir

Yani format seçimi (6-max ile 9-max, Zoom ile normal nakit) sigma farkı üzerinden gerekli bankrolunu ciddi biçimde değiştirir.

Sigma ile bankroll arasındaki ilişkinin ayrıntıları için Risk of Ruin ve Kelly Criterion makalelerine bak.

Örneklem boyutu: güven için ne kadar veri gerekir

Win rate'i güvenilir biçimde tahmin etmek için gereken örneklem boyutu, win rate / sigma oranına bağlıdır. Fark ne kadar büyükse, o kadar az veri yeterli olur.

Cash poker için (sigma 100 BB/100):

Düşük win rate çok daha fazla veri gerektirir. NL500'de 1-2 BB/100 win rate'iyle oynayan regülarlar tam da bu yüzden yıllarca kendi edge'lerini net biçimde tanımlayamaz; fiziksel olarak yeterince el oynamaya fırsat bulamazlar.

MTT için (sigma %300):

• ROI +%10: ±%5 CI için 3600 turnuva gerekir
• ROI +%30: 400 turnuva gerekir

Spor bahisleri için (bahis başına $100'lık bahiste $50 sigma):

• ROI +%1: 10 000+ bahis
• ROI +%3: 1100 bahis
• ROI +%5: 400 bahis

Kendi örneklemini modellemek ve istatistiksel güvene ulaşma yolunda nerede olduğunu görmek için varyans simülatörünü kullan.

Yaygın hatalar

1. Küçük örneklem boyutunu aşırı yorumlama. Oyuncu 1000 elde +50 BB kazanıyor ve win rate'inin +5 BB/100 olduğunu düşünüyor. %95 güven aralığıyla gerçek win rate -15 ile +25 arasında bir yerde. Bu becerinin kanıtı değil, gürültü.

2. Format seçerken sigmayı göz ardı etme. Oyuncu aynı win rate için 9-max'tan 6-max'a geçiyor ama sigmanın %20 daha yüksek olduğunu hesaba katmıyor. Gerçek Risk of Ruin buna orantılı büyüyor.

3. Varyans ile sigmayı karıştırma. Varyans, sigma değil sigma²'dir. Sigma 100 ise varyans 10.000'dir. Bu karışıklık bankroll hesaplamalarında hatalara yol açar. Değerin hangi birimle verildiğini her zaman netleştir.

4. Aşırı uç olayları küçümseme. Normal dağılım, sonuçların %99,7'sini ±3σ aralığında tahmin eder. Pokerdeki gerçek sonuçlar kalın kuyrukludur; aşırı yükseliş dönemleri ve düşüş dönemleri teorik tahminlerden daha sık yaşanır.

5. Korelasyonları göz ardı etme. Portföyün sigması, yalnızca bağımsız bahisler için varyansların toplamının karekökü üzerinden hesaplanır. Pratikte pek çok bahis birbiriyle koreledir (aynı maça birden fazla bahis, aynı günkü birden fazla turnuva) ve gerçek sigma teorik olandan yüksek çıkar.

6. Farklı formatlar için aynı örneklem boyutunu beklemek. 10.000 cash eli win rate hakkında iyi bir tahmin verir. 10.000 MTT turnuvası daha da hassas bir tahmin sağlar ama muazzam zaman gerektirir. Formatlar arasında örneklem boyutlarını doğrudan karşılaştırma.

Sınırlılıklar

Standart sapma, her zaman geçerli olmayan istatistiksel varsayımlara dayanır.

Normal dağılım. CI formülleri Gauss dağılımı varsayar. Pokerdeki gerçek sonuçların kalın kuyrukları vardır; aşırı olaylar normal tahminlerden çok daha sık gerçekleşir. İnce bankrolle oynayan oyuncularda gerçek Risk of Ruin, tam da bu kuyruklar yüzünden hesaplanan değerden çoğu zaman daha yüksek çıkar.

Sabit win rate. Sigma geçmiş verilere göre hesaplanır, ama win rate zamanla değişir: becerin artar, rekabet koşulları değişir, yeni formatları öğrenirsin. Geçmişteki sigma geleceği tahmin etmez.

Sonuçların bağımsızlığı. Her el ya da bahis bağımsız kabul edilir. Oysa gerçekte duygusal kararlar, tilt ve bir oturum içindeki ardışık kararlar korelasyon yaratır. Gerçek sigma teorik olandan fiilen daha yüksektir.

Sürecin durağanlığı. Oyun zamanla değişir: yeni stratejiler, yeni oyuncular, yeni araçlar. Beş yıl önceki sigma bugünküyle örtüşmeyebilir.

Dağılımın çarpıklığı. MTT ve spor bahisleri, büyük kazançların uzun kuyruğuyla güçlü biçimde çarpık dağılımlar gösterir. Sigma yayılımı tarif eder, dağılımın şeklini değil. Tam bir tablo için medyan, mod ve çarpıklık tahmini (skewness) de değerlendirmen gerekir.

Veri kalitesi. Sigma kendi verilerine göre hesaplanır. Veriler hatalıysa (takip edilmemiş eller, yanlış format sınıflandırmaları) ölçülen sigma gerçekten sapacaktır.

Tüm bu sınırlılıklara karşın sigma, ciddi poker ve bahis oynayanlar için temel bir kavramdır. Varyansı anlamadan bankroll kararları, format seçimi ve beceri değerlendirmesi körü körüne yapılır.