Standardabweichung

Standardabweichung (Standard Deviation, σ)

Ein Spieler gewinnt +100 BB über 1.000 Hände und glaubt, seine Win-Rate liege bei +10 BB/100. In Wirklichkeit kann der echte Wert irgendwo zwischen -3 BB/100 und +23 BB/100 liegen — ein 95%-Konfidenzintervall von 26 BB Breite. Woher kommt diese Ungewissheit? Von der Standardabweichung. Wer Sigma nicht versteht, überschätzt systematisch sein Können in Gewinnphasen und unterschätzt es in Verlustphasen. Sigma ist die Mathematik dahinter, wie weit deine Ergebnisse vom wahren Mittelwert abweichen können.

Was das überhaupt ist

Die Standardabweichung (Sigma, σ) misst die Streuung von Werten um den Mittelwert. Liegen deine Ergebnisse alle nah am Durchschnitt, ist Sigma klein. Bei großer Streuung ist Sigma groß.

Eine einfache Analogie: Du misst die Körpergröße von 10 Personen, Mittelwert 175 cm. Liegen alle zwischen 173 und 177 cm, ist Sigma klein (ungefähr 1,5 cm). Schwanken die Werte zwischen 160 und 195 cm, ist Sigma groß (ungefähr 10 cm). Beim Poker genauso: Deine durchschnittliche Win-Rate beträgt +5 BB/100, aber einzelne Sessions können von -50 bis +60 BB auf 100 Hände reichen. Sigma beschreibt genau diese Streuung.

Im Glücksspiel bestimmt Sigma:

• Wie tief Downswings und Upswings ausfallen
• Welchen Bankroll du zum Überleben brauchst
• Wie viele Hände du spielen musst, um dein Können verlässlich einzuschätzen
• Wie hoch der Risk of Ruin bei einem bestimmten Einsatzniveau ist

Sigma löst ein grundlegendes Problem: die emotionale Reaktion auf kurzfristige Ergebnisse. Minus 200 BB in einer Session — ist das eine Katastrophe? Nein, das ist normal bei Sigma 100 BB/100 über 300 Hände. Plus 500 BB in einer Woche, bist du dadurch ein Superstar? Nein, das ist statistisch selbst für einen durchschnittlichen Stammspieler möglich.

Die Formel: Wie man die Standardabweichung berechnet

Grundlegende Mathematik. Hast du N Ergebnisse x₁, x₂, ..., xₙ mit Mittelwert μ:

Varianz: V = Σ(xᵢ - μ)² / (N - 1)

Sigma: σ = √V

Konkret für Poker: Teile deine Sessions in Blöcke zu je 100 Händen auf (oder nutze die Daten jeder einzelnen Hand). Nimm das Ergebnis jedes Blocks in BB. Berechne den Mittelwert, das ist deine Win-Rate. Berechne die Abweichungen vom Mittelwert, quadriere sie, bilde den Durchschnitt. Die Wurzel daraus ist Sigma.

PokerTracker 4 und Holdem Manager 3 berechnen Sigma automatisch. Unter „Alle Hände" > „Berichte" > „Sessions" siehst du BB/100 Win-Rate plus Sigma. Ohne diese Basisstatistik ist jede Ergebnisanalyse blind.

Für Sportwetten wird Sigma pro Wette berechnet. Wer $100-Einsätze mit einem Edge von +3 % platziert, hat typischerweise ein Sigma von $98 bis $100 pro Wette. Das bedeutet: Das tatsächliche Ergebnis einer Serie von 50 Wetten kann zwischen -$1,000 und +$1,300 liegen, bei einem Erwartungswert von +$150.

Nutze den Varianz-Simulator, um mögliche Ergebnisse auf Basis deiner eigenen Parameter zu modellieren. Das ist der beste Weg, um ein echtes Gefühl dafür zu bekommen, was Sigma in deinen konkreten Zahlen bedeutet.

Sigma im Cash-Poker

Typische Sigma-Werte für nlhe online in den Jahren 2024–2026:

NL10–NL50 (Mikro- und Niedriglimits):

• 6-max: Sigma 90–110 BB/100
• 9-max: Sigma 70–90 BB/100
• Zoom (Fast Fold Cash): Sigma 100–130 BB/100

NL100–NL500 (mittlere Limits):

• 6-max: Sigma 100–130 BB/100
• 9-max: Sigma 80–100 BB/100

NL1K+ (High Stakes):

• 6-max: Sigma 110–140 BB/100
• 9-max: Sigma 90–120 BB/100

Warum steigt Sigma mit den Stakes? Bei High Stakes spielen die Spieler breiter, gehen häufiger in 50/50-Situationen und liefern sich mehr 3-Bet/4-Bet-Kriege. Das erhöht die Varianz, selbst bei gleicher Win-Rate.

Warum liegt 6-max über 9-max? Weniger Spieler am Tisch bedeutet mehr Hände zwischen den Blinds, häufigere Top-Pair-gegen-Top-Pair-Konfrontationen und öfter All-ins vor dem Flop. 9-max ist enger, die Varianz entsprechend geringer.

Zoom (PokerStars) und Fast-Fold-Poker liefern eine um 15–25 % höhere Sigma als reguläres Cash-Spiel. Der Grund: das hohe Tempo, keine Möglichkeit den Gegner zwischen den Händen zu lesen, man spielt zwangsläufig gegen gemittelte Ranges, was die Varianz zusätzlich treibt.

Sigma im MTT (Turniere)

Bei Turnieren wird Sigma in Prozent des Buy-ins gemessen. Typische Werte:

• Mikro-MTT ($1–5 Buy-in): Sigma 200–250 % des Buy-ins
• Low-MTT ($10–30): Sigma 250–300 %
• Mid-MTT ($50–200): Sigma 300–400 %
• High-MTT ($500–2.000): Sigma 400–500 %

Das liegt dramatisch höher als im Cash-Poker. Der Grund: 85–95 % aller Turniere enden mit einem Bustout vor den Preisrängen, nur 5–15 % liefern ein positives Ergebnis, und der Großteil der Gewinne konzentriert sich auf Top-3-Platzierungen. Die Verteilung ist weit entfernt von der Normalverteilung, stark rechtsschief, mit einem langen Tail großer Gewinne.

Praktische Konsequenz: Der Bankroll für MTTs sollte mindestens 100 Buy-ins betragen (für Mikro) und 200+ für High Stakes. Als Faustregel gilt: 4 × Sigma² / Win-Rate = minimaler Bankroll für 5 % Risk of Ruin.

Konkret für ein MTT mit ROI +20 % und Sigma 300 %: Bankroll = 4 × 9 / 0,2 = 180 Buy-ins. Das entspricht genau dem in der Pokerliteratur verbreiteten Standard von „200 Buy-ins für MTTs".

Die Simulation über den Varianz-Simulator zeigt: Bei ROI +20 % liegt dein realer ROI nach 1.000 Turnieren mit 95-prozentiger Sicherheit irgendwo zwischen -10 % und +50 %. Selbst nach 1.000 Turnieren kennst du deinen Edge nicht mit Sicherheit. Nach 3.000 Turnieren verengt sich der Bereich auf +5 % bis +35 %.

Sigma im Sportwetten

Die Sigma im Sportwetten hängt von Einsatzgröße und Quote ab:

sigma_einsatz = Einsatz × √(Wahrscheinlichkeit × (1 - Wahrscheinlichkeit))

Für eine typische -110-Wette (Wahrscheinlichkeit 52,4 %): Sigma = Einsatz × 0,499 ≈ ½ des Einsatzes.

Konkret: Ein Einsatz von $100 bei Quote -110 ergibt Sigma $50 pro Wette. Die Varianz ist quadratisch, also V = 2.500.

Sigma des Wett-Portfolios:

Bei unabhängigen Wetten gilt: sigma_portfolio = √(Summe der Einzelvarianzen).

Konkret: 10 Wetten à $100 mit je Sigma $50 ergeben sigma_portfolio = √(10 × 2.500) = $158. Nicht $500 (also 10 × $50), sondern deutlich weniger durch den Diversifikationseffekt.

Das ist die Grundlogik der Diversifikation. Je mehr unabhängige Wetten, desto geringer die Portfolio-Varianz relativ zum Gesamtvolumen. Genau deshalb platzieren Sharps 200 bis 500 Wetten im Jahr statt 20 großer.

Korrelationen brechen diese Mathematik auf. Wenn 10 Wetten korreliert sind (etwa alle auf dasselbe Team in verschiedenen Spielen), kann die tatsächliche Portfolio-Sigma nahe an der Summe der Einzelnen liegen, nicht an deren Wurzel. Sharps vermeiden Korrelationen konsequent.

Sigma im Blackjack mit Kartenzählen

Sigma beim Kartenzählen wird in Einsatzeinheiten pro Spielstunde gemessen.

Typische Werte für das Hi-Lo-System:

• 1 Stunde an einem Tisch: Sigma 2 bis 2,5 Einheiten
• 4-Stunden-Session: Sigma 4 bis 5 Einheiten (Skalierung wie √4 = 2x)
• 100 Spielstunden: Sigma 20 bis 25 Einheiten

Mit einem Edge von +1,5 % und Sigma 2,5 Einheiten pro Stunde verdient ein Spieler im Schnitt 1,5 Einheiten pro Stunde, die Varianz bleibt dabei hoch. Eine Serie von 50 Verlust-Stunden hintereinander ist möglich, über 80 wird es selten.

Genau deshalb arbeiten Kartenzähler in wechselnden Teams und verteilen ihre Einsätze auf mehrere Casinos gleichzeitig. Die Sigma-Reduktion durch paralleles Spiel an mehreren Tischen funktioniert im Blackjack genauso wie im Poker.

Konfidenzintervalle über Sigma

Der wichtigste praktische Nutzen von Sigma liegt in der Berechnung von Konfidenzintervallen (CI).

Für die Normalverteilung gilt:

• 68 % der Ergebnisse liegen im Bereich ± 1σ vom Mittelwert
• 95 % im Bereich ± 2σ (genauer: 1,96σ)
• 99,7 % im Bereich ± 3σ

Zur Schätzung der Win-Rate aus einer Stichprobe N: CI_95% = Win-Rate ± 1,96 × Sigma / √N

Konkret: Win-Rate +5 BB/100 nach 10.000 Händen mit Sigma 100. CI = ±1,96 × 100 / √10.000 = ±1,96 BB/100. Der tatsächliche Wert liegt mit 95-prozentiger Sicherheit im Bereich +3,04 bis +6,96 BB/100.

Nach 100.000 Händen: CI = ±0,62 BB/100, Bereich +4,38 bis +5,62. Schon deutlich präziser.

Nach 1.000.000 Händen: CI = ±0,2 BB/100. Erst hier spricht man wirklich von Konvergenz zum wahren Wert.

Praktisch bedeutet das: Unter 50.000 bis 100.000 Händen kennst du deine echte Win-Rate schlicht nicht. Jedes Ergebnis ist Rauschen plus möglicherweise ein realer Edge, wer Konfidenzintervalle ignoriert, überschätzt oder unterschätzt sich dauerhaft.

Zusammenhang mit dem Risk of Ruin

Sigma geht direkt in die Risk-of-Ruin-Formel ein:

RoR = ((1 - Winrate/σ) / (1 + Winrate/σ))^(Bankroll/σ)

Je höher Sigma bei gleicher Winrate, desto höher der RoR. Verdoppelt sich Sigma bei gleichbleibender Winrate, muss der Bankroll vervierfacht werden, damit der Risk of Ruin gleich bleibt (Sigma geht quadratisch ein).

Ein konkretes Beispiel. Cash-Pokerspieler, Winrate +3 BB/100:

• Sigma 80 BB/100: für RoR 5 % sind 30 Buy-ins nötig
• Sigma 100 BB/100: für RoR 5 % sind 47 Buy-ins nötig
• Sigma 120 BB/100: für RoR 5 % sind 67 Buy-ins nötig

Die Wahl des Formats (6-max vs. 9-max, Zoom vs. reguläres Cash) verändert den erforderlichen Bankroll erheblich, und zwar genau über den Unterschied in Sigma.

Mehr zum Zusammenhang von Sigma und Bankroll in den Artikeln Risk of Ruin und Kelly Criterion.

Stichprobengröße: Wie viele Daten braucht man für Sicherheit?

Die benötigte Stichprobengröße für eine verlässliche Winrate-Schätzung hängt vom Verhältnis Winrate/Sigma ab. Je größer der Unterschied, desto kleiner die benötigte Stichprobe.

Für Cash-Poker (Sigma 100 BB/100):

Eine schwache Winrate erfordert deutlich mehr Daten. Genau deshalb können Stammspieler auf NL500 mit einer Winrate von 1–2 BB/100 ihren Edge jahrelang nicht präzise beziffern: Sie kommen schlicht nicht auf ausreichend Hände.

Für MTT (Sigma 300 %):

• ROI +10 %: 3.600 Turniere für CI ±5 %
• ROI +30 %: 400 Turniere

Für Sportwetten (Sigma pro $50-Wette bei $100 Einsatz):

• ROI +1 %: 10.000+ Wetten
• ROI +3 %: 1.100 Wetten
• ROI +5 %: 400 Wetten

Nutze den Varianz-Simulator, um deine eigene Stichprobe zu modellieren und zu verstehen, wie weit du auf dem Weg zur statistischen Sicherheit noch bist.

Typische Fehler

1. Überschätzung einer kleinen Stichprobe. Ein Spieler gewinnt +50 BB in 1.000 Händen und glaubt, seine Win-Rate liege bei +5 BB/100. Das tatsächliche 95 %-Konfidenzintervall reicht von -15 bis +25. Das ist Rauschen, kein Beweis für Skill.

2. Sigma beim Formatwechsel ignorieren. Ein Spieler wechselt von 9-max zu 6-max, weil die Win-Rate gleich bleibt, berücksichtigt aber nicht, dass die Sigma dort um 20 % höher ist. Der tatsächliche Risk of Ruin steigt entsprechend.

3. Varianz und Sigma verwechseln. Varianz ist Sigma², nicht Sigma selbst. Liegt Sigma bei 100, beträgt die Varianz 10.000. Diese Verwechslung führt zu Fehlern bei der Bankroll-Berechnung. Kläre immer, in welchen Einheiten eine Kennzahl angegeben ist.

4. Extremereignisse unterschätzen. Die Normalverteilung sagt voraus, dass 99,7 % aller Ergebnisse im Bereich ±3σ liegen. Tatsächliche Pokerergebnisse haben fettere Ränder, extreme Upswings und Downswings treten häufiger auf, als die Theorie vorhersagt.

5. Korrelationen ignorieren. Die Sigma eines Portfolios ergibt sich nur bei unabhängigen Wetten aus der Wurzel der Summe der Varianzen. In der Praxis sind viele Wetten korreliert (mehrere Wetten auf dasselbe Spiel, mehrere Turniere am gleichen Tag), und die tatsächliche Sigma liegt höher als der theoretische Wert.

6. Gleiche Stichprobengröße für verschiedene Formate ansetzen. 10.000 Cash-Game-Hände liefern eine solide Win-Rate-Schätzung. 10.000 MTT-Turniere ergäben eine noch genauere Einschätzung, erfordern aber einen enormen Zeitaufwand. Stichprobengrößen lassen sich zwischen verschiedenen Formaten nicht direkt vergleichen.

Grenzen der Standardabweichung

Die Standardabweichung basiert auf statistischen Annahmen, die in der Praxis nicht immer erfüllt sind.

Normalverteilung. CI-Formeln setzen eine Gaußsche Verteilung voraus. Reale Pokerergebnisse haben dickere Ränder. Extremereignisse treten häufiger auf, als das Modell vorhersagt. Das tatsächliche Risk of Ruin bei knappem Bankroll liegt oft über dem berechneten Wert, genau wegen dieser Randeffekte.

Stabile Winrate. Die Sigma wird aus historischen Daten berechnet, aber deine Winrate verändert sich über die Zeit: Skills wachsen, die Konkurrenz ändert sich, neue Formate kommen dazu. Eine historische Sigma sagt nichts über die zukünftige aus.

Unabhängigkeit der Ergebnisse. Jede Hand oder Wette gilt als unabhängig. In der Praxis erzeugen emotionale Entscheidungen, Tilt und verkettete Entscheidungen innerhalb einer Session Korrelationen. Die reale Sigma liegt damit effektiv höher als die theoretische.

Stationarität des Prozesses. Das Spiel verändert sich: neue Strategien, neue Spieler, neue Tools. Die Sigma von vor fünf Jahren kann sich deutlich von der heutigen unterscheiden.

Schiefe Verteilung. MTT und Sportwetten haben stark asymmetrische Verteilungen mit einem langen Tail großer Gewinne. Die Sigma beschreibt die Streuung, aber nicht die Form der Verteilung. Für ein vollständiges Bild braucht man Median, Modus und eine Schätzung der Asymmetrie (Skewness).

Datenqualität. Die Sigma wird aus deinen eigenen Daten berechnet. Wenn diese fehlerhaft sind, nicht alle Hände erfasst wurden oder Formate falsch kategorisiert sind, weicht die gemessene Sigma von der realen ab.

Trotz dieser Einschränkungen bleibt Sigma ein unverzichtbares Konzept für jeden, der Poker oder Sportwetten ernsthaft betreibt. Ohne ein Verständnis der Varianz trifft man Entscheidungen zu Bankroll, Formatwahl und Skillbewertung im Blindflug.